【資格試験】立体角と平面角の関係式【機械,照明】
こんにちは。電気でぶ猫のラルフ0です。
今回はちょっと趣を変えて,私のメモ的な記事になります。
立体角と平面角の関係式
「電気計算」という,電験やエネルギー管理士を目指す人向きの専門雑誌があるのですが,その2018年12月号を読んでいたら,照明関係の記事のところで,
……(1)
なる公式が導出(証明)無しで載っていました。ここで,αが平面角で,Ωがそこから見込んだ立体角です。ステラジアン[sr]という単位をもっているやつですね(図1参照)。
図1 平面角と立体角
私,電験などでも照明関係の問題は苦手で,この立体角関係もなんとなく避けて通ってました。とはいえ,いつまでも避けているのもなんとなく癪なので,ちょっと(1)式の導出を調べてみることにしました。で,その結果をここにメモっておこうと,今回の記事はそういう番外編的な記事です。
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立体角と平面角の関係式導出
立体角Ω[sr]の定義は,一般には一般の曲面で定義するのですが,簡単のために半径rの球面で定義すると,球の中心から見込んだ球面の面積をSとすると,Ω=S/r^2です。
半径1の球面で考えればr=1だから,Ω=Sとなります。
平面角αの場合でいえば,この平面がぐるっと一回転して切り取る球面の面積がSすなわちΩです。Sを求めるには微小面積dSを積分して求めればよいです。
球面座標での微小面積は図2から,
……(2)
です。ここで,(2)式において,r=1として,0≦θ≦α,0≦φ≦2πの範囲で積分すればよく,
となって,無事導出完了です。